Hampiran π – SMAN 1 Majalengka

oleh Adem

Selamat hari Pi. Hari pada bulan Maret tanggal 14 (3/14 pada format tanggal month/day) dirayakan sebagai hari Pi. 3, 1, dan 4 adalah tiga angka penting pertama dari nilai π. Pada tahun 2021 ini, penulis memperingatinya dengan menulis yang terkait π setelah membaca dan belajar dari Bapak Prof. Hendra Gunawan Ph.D. melalui https://bermatematika.net/gara-gara-hantu-lingkaran/ dan https://bermatematika.net/2020/07/29/proposisi-archimedes/.

Perbandingan keliling suatu lingkaran dengan diameternya menghasilkan nilai yang tetap. Pada tahun 1706, William Jones seorang matematikawan dari Welsh menggunakan simbol π untuk ketetapan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya itu, tetapi penotasian ini tidak langsung populer saat itu. Setelah Euler menuliskan, “For the sake of brevity we will write this number as π; thus π is equal to half the circumference of a circle of radius 1” pada karyanya Introductio in Analysin Infinitorum yang banyak dibaca orang, maka semakin banyak perbandingan itu dinotasikan dengan π.

π adalah keliling lingkaran berdiameter 1.
Nilainya dapat dihampiri dengan keliling segienam beraturan. Sebagaimana Archimedes memulai menentukan hampiran nilai π.
Jika menggunakan segienam beraturan dalam lingkaran, maka nilai hampirannya adalah 3. Jika menggunakan segienam beraturan luar lingkaran, maka nilai hampirannya adalah $2\sqrt{3}$.
Bagaimana bila nilai π dihampiri lebih lanjut dengan segi-12, segi-24, segi-48, dan segi-96?

Perhatikan gambar berikut.

Dari segitiga $APQ$ dengan $OB\,//\,QA$ kita dapatkan bahwa $\angle{AQP}=\angle{BOP}=\angle{AOB}$ dan kita dapatkan pula:
$\begin{align*} \frac{QP}{OP} &= \frac{AP}{BP} \\ \frac{QO+OP}{OP} &= \frac{AB+BP}{BP} \\ \frac{QO}{OP} &= \frac{AB}{BP} \qquad\qquad\text{; ingat } QO = OA \\ \frac{OA}{OP} &= \frac{AB}{BP}\\ \end{align*}$

Dari segitiga $AOP$ diperoleh:

$\begin{align*} \frac{OP}{AP} = \sqrt{3} > {\frac{265}{153} }^{\color{blue}1)} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{OA}{AP} = 2 = \frac{306}{153} \end{align*}$

dengan $AP = \frac{1}{2}$ panjang sisi segi-6 beraturan luar lingkaran

dan
$\begin{align*} \frac{AB}{BP} &= \frac{OA}{OP} \\ \frac{AB+BP}{BP} &= \frac{OA+OP}{OP} \\ \frac{AP}{BP} &= \frac{OA+OP}{OP} \\ \end{align*}$

Sehingga:
$\begin{align*} \frac{OP}{BP} &= \frac{OA+OP}{AP} \\ {} &>\frac{306+265}{153} \\ {} &>\frac{571}{153} \\ \end{align*}$

Selanjutnya diperoleh:
$\begin{align*} \frac{OB^2}{BP^2} &= \frac{OP^2 + BP^2}{BP^2} \\[8pt] &> \frac{571^2+153^2}{153^2} \\[8pt] &> \frac{349.450}{23.409} \\[8pt] \frac{OB}{BP} &> \frac{591\frac{1}{8}}{153}\end{align*}$
dengan $BP$ = setengah panjang sisi segi-12 beraturan luar lingkaran.

Dengan cara yang sama diperoleh:

$\frac{OP}{CP} > \frac{1162\frac{1}{8}}{153} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{OC}{CP} >\frac{1172\frac{1}{8}}{153} $
dengan $CP$ = setengah panjang sisi segi-24 beraturan luar lingkaran.

$\frac{OP}{DP} > \frac{2334\frac{1}{4}}{153} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{OD}{DP} >\frac{2339\frac{1}{4}}{153}$
dengan } $DP$ = setengah panjang sisi segi-48 beraturan luar lingkaran.

$\frac{OP}{EP} > \frac{4673\frac{1}{2}}{153}$

Mari kita perhatikan:
$\begin{align*} EP &= \text{ setengah panjang sisi segi-96 beraturan luar lingkaran} \\ &= \frac{1}{192} \times\text{ Keliling segi-96 beraturan luar lingkaran} \end{align*}$

Selanjutnya:
$\begin{align*} \frac{\text{Keliling lingkaran}}{\text{diameter}} &< \frac{\text{Keliling segi-96 beraturan luar lingkaran}}{\text{diameter}} \\ \pi &< \frac{192\, PE}{2\, OP} \\ &< \frac{96\times 153}{4673\frac{1}{2}} \\ &< 3 + \frac{667\frac{1}{2}}{4673\frac{1}{2}} \\ &< 3\,\frac{1}{7} = \frac{22}{7} \end{align*}$

Dengan menggunakan segi-96 yang berada di dalam lingkaran, Archimedes memperoleh taksiran $\pi>3\frac{10}{71}$.
Jadi \[ 3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7} \qquad\Leftrightarrow\qquad 3,140845 < \pi < 3,142857 \]

Referensi

Hendra Gunawan, Prof. Ph.D. 2016. Archimedes Bergelut dengan Lingkaran. https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/04/bab-5-archimedes-bergelut-dengan-lingkaran.pdf
Hendra Gunawan, Prof. Ph.D. 2016. Jasa Besar Euclid. https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2016/04/bab-4-jasa-besar-euclid.pdf

——

$^{1)}$ Dengan menggunakan Algoritma Euclid dan pecahan berlanjut hampiran nilai $\sqrt{3}$ adalah $[1;1,2,1,2,1,2,1,2]$ dengan nilai $\sqrt{3} < [1;1,2,1,2,1,2,1,2] = \frac{265}{153}$

[latexpage]

Referensi

Leave a Reply Cancel reply