view (eye icon) image/svg+xml view April 2010 Franziska Sponsel Franziska Sponsel RRZE view eye see overview Beate Kaspar 1195 views

Pengantar π < 22/7: Dari Algoritma Euclid untuk Hampiran √3

Oleh: Adem

Selamat hari Pi. Hari pada bulan Maret tanggal 14 (3/14 pada format tanggal month/day) dirayakan sebagai hari Pi. 3, 1, dan 4 adalah tiga angka penting pertama dari nilai π. Penulis memperingatinya dengan membuat tulisan ini. Tulisan ini hasil belajar dari Bapak Prof. Hendra Gunawan Ph.D. melalui https://bermatematika.net/gara-gara-hantu-lingkaran/.

Bermula pada tahun 1988, di Exploratorium (museum ilmu pengetahuan, teknologi, dan seni) San Francisco diselenggarakan perayaan berskala besar memperingati Hari Pi (Pi Day) oleh fisikawan Larry Shaw beserta stafnya yang diikuti juga masyarakat umum. Pada 12 Maret 2009, DPR-nya Amerika Serikat (the U.S. House of Representatives) mendukung penetapan Hari Pi. Pada November 2019 UNESCO menetapkan Hari Pi sebagai Hari Matematika Internasional. Tanggal yang kita bicarakan ini bertepatan juga dengan tanggal kelahiran Albert Einstein. Tanggal lain yang terkait dengan π adalah 22 Juli (22/7) sebagai hari perkiraan π dan tanggal 28 Juni karena 6,28 ≈ 2π =τ (tau).

Perbandingan keliling suatu lingkaran dengan diameternya menghasilkan nilai yang tetap. Pada tahun 1706, William Jones seorang matematikawan dari Welsh menggunakan simbol π untuk perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya itu, tetapi penotasian itu tidak langsung populer saat itu. Setelah Euler menuliskan, “For the sake of brevity we will write this number as π; thus π is equal to half the circumference of a circle of radius 1” pada karyanya Introductio in Analysin Infinitorum yang banyak dibaca orang, maka semakin banyak perbandingan itu dinotasikan dengan π.

Pada milenium kedua dan pertama sebelum masehi (SM), lingkaran dihampiri dengan segi enam beraturan dalam lingkaran. Sehingga sebuah lingkaran berdiameter 1 satuan panjang dinyatakan memiliki keliling 3 satuan panjang. Di sini nilai yang kita kenal π ditaksir bernilai 3. Pada milenium kedua SM, orang Babilonia menaksirnya bernilai 25/8 = 3,125. Di Mesir kuno sekitar 1650 SM menaksirnya bernilai \left(\frac{4}{3}\right)^2 \approx 3,16. Archimedes menggunakan poligon di luar dan di dalam lingkaran sampai pada nilai yang kita gunakan sekarang. Archimedes sampai pada nilai taksirannya itu diantaranya melibatkan hampiran \sqrt{3} bernilai \frac{265}{153}. Hampiran nilai \sqrt{3} tersebut diperoleh dengan menggunakan Algortima Euclid.

Algortima Euclid

Euclid (~330-270 SM) menulis beberapa buku, salah satunya berjudul “Stoicheia” atau kita mengenalnya “Elemen”. Buku ini terdiri dari 13 jilid. Jilid VII-IX berisi dasar-dasar Teori Bilangan dan pada jilid VII dibahas Algoritma Euclid.

Algortima Euclid merupakan metode yang efisien untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan. Jika notasi FPB(m,n) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan m dan n, untuk m>n dengan Algoritma Euclid disajikan berikut:

Perhatikan:

Semakin membesar nilai i maka bilangan sisa r_i semakin mengecil (r_0 > r_1 > r_2 > ...). Untuk suatu N saat diperoleh nilai r_N=0, kita mendapatkan bahwa r_{N-1}=FPB(m,n)

Contoh: FPB(255, 90) = ?

Menggunakan Algoritma Euclid kita dapatkan:

Pada langkah ke-3, sisanya 0.

jadi FPB(255,90) = 15.

Pecahan Berlanjut

Dengan Algortima Euclid, kita dapat menyatakan bilangan rasional sebagai pecahan berlanjut. Perhatikan bahwa:

atau

Notasi pecahan berlanjut lazinnya ditunjukkan sebagai barisan q_0 s.d. q_N dengan tanda baca titik koma yang memisahkan q_0 dan q_1 untuk memisahkan q_0 yang menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari \frac{m}{n}

Sebagai contoh:

\frac{255}{90} = 2 + \frac{1}{1+\frac{1}{5}}=[2;1,5]

Perhatikan 2 + \frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{17}{6} yang merupakan bentuk sederhana dari \frac{255}{90}.

Pecahan Berlanjut untuk Bilangan Irasional

Mirip dengan langkah-langkah tadi, kita dapat memperoleh pecahan berlanjut untuk bilangan real x_0 sembarang.

Keterangan:
Notasi [x_k] adalah notasi untuk menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan x.
Contoh [\sqrt{3}] = 1.

Untuk bilangan rasional, iterasi akan berhenti pada langkah ke-N+1 untuk suatu N. Untuk bilangan irasional, iterasi akan berlanjut tiasa henti.
Untuk bilangan irasional x_0, jika iterasi dihentikan pada langkah ke-(N+1), maka kita peroleh pecahan berlanjut \left[[x_0];[x_1],\cdots,[x_N]\right] yang merupakan hampiran rasional untuk x_0.

Contoh: \sqrt{3} =~ \frac{265}{153}

Misal x_0 = \sqrt{3}.
Maka [x_0] = 1, dan
\sqrt{3} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}} = 1 + \frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}
\frac{\sqrt{3}+1}{2} = 1 + \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}-1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}+1}
\sqrt{3} + 1 = 2 + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}} = 2 + \frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}
dst.
Perhatikan bahwa terjadi perulangan: 1, 2, 1, 2, … mulai langkah ke-2.
Jadi

Bagaimana Archimedes mendapatkan hampiran nilai perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya yang melibatkan hampiran \sqrt{3} dengan nilai \frac{265}{153}? Hal ini akan dijelaskan pada tulisan tersendiri.

Referensi

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *